Aljabar Abstrak I: Berkenalan dengan Grup Siklik

Oleh: M. Zaki Riyanto, M.Sc.
(http://zaki.math.web.id)

Dalam mempelajari Teori Grup, kita sudah dikenalkan dengan berbagai macam macam grup, contohnya seperti dua grup berikut ini:

Grup $\mathbb{Z}_n = \lbrace 0,1,2,...,n-1 \rbrace$ (terhadap operasi penjumlahan modulo $n$ )
Grup $\mathbb{Z}_p^{*} = \lbrace 1,2,3,...,p-1 \rbrace$ , dengan $p$ prima (terhadap operasi perkalian madulo $p$ )

Perhatikan grup $\mathbb{Z}_4 = \lbrace 0,1,2,3 \rbrace$ , ternyata setiap anggota dari $\mathbb{Z}_4$ dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan sebanyak berhingga dari $1 \in \mathbb{Z}_4$ , yaitu:

$0 = 1+1+1+1$
$1 = 1$
$2 = 1+1$
$3 = 1+1+1$

Selanjutnya, perhatikan grup $\mathbb{Z}_5^* = \lbrace 1,2,3,4 \rbrace$ , ternyata setiap anggota dari $\mathbb{Z}_5^*$ dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sebanyak berhingga dari $2 \in \mathbb{Z}_5^*$ , yaitu:

$1 = 2.2.2.2$
$2 = 2$
$3 = 2.2.2$
$4 = 2.2$

Notasi: Diberikan grup $(G,*)$ dan $g \in G$ . Untuk $n \in \mathbb{N}$ didefinisikan:

$g^n = g*g*...*g$ (sebanyak $n$ kali/faktor)
$g^{-n} = (g^{-1})^n = (g^{-1}) * (g^{-1}) *...* (g^{-1})$ (sebanyak $n$ kali/faktor)
$g^0 = e$ (elemen identitas)

Sifat: Untuk $n,m \in \mathbb{Z}$ berlaku $g^n * g^m = g^{n+m}$ dan $(g^n)^m = g^{nm}$ .

Nah, hal ini memotivasi suatu grup yang mempunyai sifat seperti pada kedua contoh di atas, yang selanjutnya dinamakan dengan grup siklik, seperti diberikan dalam definisi berikut:

Definisi: Suatu grup $(G,*)$ disebut dengan grup siklik jika terdapat suatu $g \in G$ sedemikian hingga untuk setiap $a \in G$ dapat dinyatakan sebagai $a = g^n$ , untuk suatu $n \in \mathbb{Z}$ . Elemen $g \in G$ tersebut dinamakan dengan pembangun atau generator dari grup $G$ . Suatu grup siklik $G$ yang dibangun oleh $g \in G$ dinotasikan dengan $G = <g>$ .

Contoh grup siklik adalah $\mathbb{Z}_4$ dan $\mathbb{Z}_5^*$ , sebab $\mathbb{Z}_4 = <1>$ dan $\mathbb{Z}_5^* = <2>$ . Elemen pembangun dari suatu grup siklik itu tidak tunggal, dapat ditunjukkan bahwa $\mathbb{Z}_4 = <3>$ dan $\mathbb{Z}_5^* = <3>$

Teorema: Jika $(G,*)$ grup siklik, maka $G$ grup abelian (komutatif).

Bukti: Diketahui $G$ grup siklik, misalkan $G = <g>$ . Diambil sebarang $a,b \in G$ , akan ditunjukkan bahwa $a*b = b*a$ . Diketahui $a,b \in G$ dan $G = <g>$ . Akibatnya $a=g^n$ dan $b=g^m$ , untuk suatu $n,m \in \mathbb{Z}$ . Diperoleh bahwa

$a*b = g^n * g^m = g^{n+m} = g^{m+n} = g^m * g^n = b*a$ Dengan demikian, terbukti bahwa $G$ merupakan grup abelian.

Akibat dari teorema tersebut adalah bahwa setiap grup yang tidak abelian (non-komutatif) pasti bukan grup siklik. Oleh karena itu, contoh grup yang bukan grup siklik yaitu grup permutasi $S_n$ , $n>2$ dan grup matriks invertibel $GL_n(\mathbb{R})$ , untuk $n>1$ .

Pertanyaannya sekarang adalah: $:D$

Apakah ada grup abelian yang bukan grup siklik?
Apakah setiap subgrup dari suatu grup siklik selalu merupakan grup siklik?

Kampus IV (Kampus Utama)
Gedung Utama, Lantai 7

Universitas Ahmad Dahlan
Jl. Ahmad Yani (Ringroad Selatan) Tamanan Banguntapan Bantul Yogyakarta 55166
Telepon : (0274) 563515, 511830, 379418, 371120 Ext.
Telepon : +6281-1250-0800
Faximille : 0274-564604
Email : prodi(at)pmat.uad.ac.id

Daftar di UAD dan kembangkan potensimu dengan banyak program yang bisa dipilih untuk calon mahasiswa

Informasi PMB
Universitas Ahmad Dahlan

Telp. (0274) 563515
Hotline PMB
S1 – 0853-8500-1960
S2 – 0878-3827-1960

Aljabar Abstrak I: Berkenalan dengan Grup Siklik

Comments are closed.

Informasi Tentang