Turunan - Pendidikan Matematika

Turunan seringkali didefinisikan dengan

$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Untuk lebih jelanya, tentukanlah turunandari fungsi-fungsi berikut :
1. f(x) = x²
2. f(x) = x³
$3. f(x)=\frac{1}{x}$
$4. f(x)=\sqrt{x}$

Jawab :
untuk nomor 1 :
f(x) = x² maka f(x) = (x+ h) ² sehingga
$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$
$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}$
$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{2xh+h^{2}}{h}$
$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h(2x+h)}{h}$
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}2x+h=2x+0=2x$
dengan demikian turunan pertama dari f(x) = x² adalah f'(x) = 2x

Untuk nomor 2 bisa kita selesaikan sebagai berikut :
f(x) = x³ maka f(x) = (x+ h) ³ sehingga
$f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x))}{h}$
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}$
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}$
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}$
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(3x^{2}+3xh+h^{2})}{h}$
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}3x^{2}+3xh+h^{2}$
f'(x) = 3x²+0+0 = 3x²
Jadi, jika f(x) = x³ maka f'(x) = 3x²

Dengan demikian kita bisa mengambil kesimpulah bahwa
Jika f(x) = xⁿ maka f'(x) = nx^n-1

nomor 3
$f(x)=\frac{1}{x}$ maka $f(x+h)=\frac{1}{x+h}$
sehingga :
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\left ( \frac{x-(x+h)}{x(x+h) \right )}{}}{h}$

$=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\left ( \frac{-h}{x(x+h) \right )}{}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-1}{x(x+h)}=\frac{-1}{x(x+0)}=-\frac{1}{x^{2}}$

untuk nomor 4
$f(x)=\sqrt{x}$ maka $f(x+h)=\sqrt{x+h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

$= \lim_{h\rightarrow 0}\left ( \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \right ). \left ( \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \right )$

$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x+h-x}{h\left ( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \right )}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h\left ( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \right )}$
$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Kampus IV (Kampus Utama)
Gedung Utama, Lantai 7

Universitas Ahmad Dahlan
Jl. Ahmad Yani (Ringroad Selatan) Tamanan Banguntapan Bantul Yogyakarta 55166
Telepon : (0274) 563515, 511830, 379418, 371120 Ext.
Telepon : +6281-1250-0800
Faximille : 0274-564604
Email : prodi(at)pmat.uad.ac.id

Daftar di UAD dan kembangkan potensimu dengan banyak program yang bisa dipilih untuk calon mahasiswa

Informasi PMB
Universitas Ahmad Dahlan

Telp. (0274) 563515
Hotline PMB
S1 – 0853-8500-1960
S2 – 0878-3827-1960

Informasi Tentang