Matriks Representasi Transformasi Linear

Oleh: M. Zaki Riyanto, M.Sc.
http://zaki.math.web.id

Hmmm…. dari judulnya mungkin sudah bisa ditebak, yaitu apa? hehe… Yupz, ternyata sebarang transformasi linear itu dapat direpresentasikan dalam sebuah matriks lho, percaya ndak? Kalo gk percaya silahkan cekidot!

Sebelumnya ane kasih contoh dulu gan, diberikan $\mathbb{R}^3$ dan $\mathbb{R}^2$ keduanya ruang vektor atas $\mathbb{R}$ terhadap operasi perkalian skalar biasa. Misalkan $B_1 = \lbrace (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^3$ dan $B_2 = \lbrace (1,0),(0,1) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^2$ .

Untuk $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ , diperoleh bahwa

$(x,y,z) = \alpha_1(1,0,0)+\alpha_2(0,1,0)+\alpha_3(0,0,1)$
dengan $\alpha_1 = x$ , $\alpha_2 = y$ dan $\alpha_3 = z$ .

Untuk $(p,q) \in \mathbb{R}^2$ , diperoleh bahwa

$(p,q) = \beta_1(1,0)+\beta_2(0,1)$ dengan $\beta_1 = p$ dan $\beta_2 = q$ .

Diberikan transformasi linear $T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dengan definisi $T(x,y,z) = (x+y,y+z)$ . Ternyata, transformasi linear $T$ dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks dengan vektor kolom berikut:

$\left[ \begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x+y \\ y+z \end{array} \right]$

Nah, matriks $A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right]$ tersebut nantinya dinamakan dengan matriks representasi dari transformasi linear $T$ . Nilai dari matriks $A$ tersebut ditentukan oleh basis $B_1$ dan $B_2$ . Koq bisa? hmmm… Biar penasaran, perhatikan uraian berikut ini. Perhatikan benar-benar ya, karena tulisannya bikin pusing dan ruwet, padahal sebenarnya sederhana, cuman ya begitulah, hehe… $:D$

Secara umum, diberikan $V$ dan $W$ ruang vektor atas lapangan (field) $F$ . Misalkan:

$B_V = \lbrace v_1, v_2, ... , v_n \rbrace$ basis untuk $V$
$B_W = \lbrace w_1, w_2, ... , w_m \rbrace$ basis untuk $W$ .

Artinya, untuk sebarang $v \in V$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear $v = \alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_nv_n$ , untuk suatu $\alpha_i \in F, i=1,2,...,n$ , dan demikian juga untuk sebarang $w \in W$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear $w = \beta_1w_1 + \beta_2w_2 + ... + \beta_mw_m$ , untuk suatu $\beta_i \in F, i=1,2,...,m$ .

Diberikan transformasi linear $T:V \rightarrow W$ . Diambil sebarang $v \in V$ , maka $v = \alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_nv_n$ , untuk suatu $\alpha_i \in F, i=1,2,...,n$ . Karena $T(v) \in W$ , maka $T(v) = \beta_1w_1 + \beta_2w_2 + ... + \beta_mw_m$ , untuk suatu $\beta_i \in F, i=1,2,...,m$ . Selanjutnya, diperoleh:

$T(v)$ $= T(\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_nv_n)$
$= T(\alpha_1v_1) + T(\alpha_2v_2) + ... + T(\alpha_nv_n)$
$= \alpha_1T(v_1) + \alpha_2T(v_2) + ... + \alpha_nT(v_n)$

Diketahui $T(v_1), T(v_2), ... , T(v_n) \in W$ dan $B_W$ basis untuk $W$ , maka

$T(v_1) = a_{11}w_1 + a_{21}w_2 + ... + a_{m1}w_m$
$T(v_2) = a_{12}w_1 + a_{22}w_2 + ... + a_{m2}w_m$
$\vdots$
$T(v_n) = a_{1n}w_1 + a_{2n}w_2 + ... + a_{mn}w_m$

untuk suatu $a_{ij} \in F, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$ .

Dari sini diperoleh bahwa:
$T(v)$ $= \alpha_1T(v_1) + \alpha_2T(v_2) + ... + \alpha_nT(v_n)$
$= \alpha_1(a_{11}w_1 + a_{21}w_2 + ... + a_{m1}w_m) + \alpha_2(a_{12}w_1 + a_{22}w_2 + ... + a_{m2}w_m)$
$+ ... + \alpha_n(a_{1n}w_1 + a_{2n}w_2 + ... + a_{mn}w_m)$

$= \alpha_1a_{11}w_1 + \alpha_1a_{21}w_2 + ... + \alpha_1a_{m1}w_m + \alpha_2a_{12}w_1 + \alpha_2a_{22}w_2 + ... + \alpha_2a_{m2}w_m$
$+ ... + \alpha_na_{1n}w_1 + \alpha_na_{2n}w_2 + ... + \alpha_na_{mn}w_m$

$= \alpha_1a_{11}w_1 + \alpha_2a_{12}w_1 + ... + \alpha_na_{1n}w_1 + \alpha_1a_{21}w_2 + \alpha_2a_{22}w_2 + ... + \alpha_na_{2n}w_2$
$+ ... + \alpha_1a_{m1}w_m + \alpha_2a_{m2}w_m + ... + \alpha_na_{mn}w_m$

$= (\alpha_1a_{11} + \alpha_2a_{12} + ... + \alpha_na_{1n})w_1 + (\alpha_1a_{21} + \alpha_2a_{22}+ ... + \alpha_na_{2n})w_2$
$+ ... + (\alpha_1a_{m1}+ \alpha_2a_{m2} + ... + \alpha_na_{mn})w_m$

Di lain pihak, diketahui bahwa $T(v) = \beta_1w_1 + \beta_2w_2 + ... + \beta_mw_m$ . Akibatnya apa coba hayooo? Yupz, dapat diperoleh bahwa:

$\beta_1 = \alpha_1a_{11} + \alpha_2a_{12} + ... + \alpha_na_{1n}$
$\beta_2 = \alpha_1a_{21} + \alpha_2a_{22}+ ... + \alpha_na_{2n}$
$\vdots$
$\beta_m = \alpha_1a_{m1}+ \alpha_2a_{m2} + ... + \alpha_na_{mn}$

atau

$\beta_1 = a_{11}\alpha_1 + a_{12}\alpha_2 + ... + a_{1n}\alpha_n$
$\beta_2 = a_{21}\alpha_1 + a_{22}\alpha_2 + ... + a_{2n}\alpha_n$
$\vdots$
$\beta_m = a_{m1}\alpha_1+ a_{m2}\alpha_2 + ... + a_{mn}\alpha_n$

Apabila dituliskan menggunakan perkalian matriks dengan vektor kolom, diperoleh sebagai berikut:

$\left[ \begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_m \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right]$

Matriks $A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right]$ tersebut dinamakan dengan matriks representasi dari transformasi linear $T:V \rightarrow W$ relatif terhadap basis $B_V$ dan $B_W$ .

Gimana, udah jelas belon? Kalo masih bingung silahkan jongkok! hahaha… $:D$ Untuk latihan, ini ane kasih soal sederhana saja kayak tadi di awal.

Latihan Soal: Diberikan $\mathbb{R}^3$ dan $\mathbb{R}^2$ keduanya ruang vektor atas $\mathbb{R}$ terhadap operasi perkalian skalar biasa. Misalkan $B'_1 = \lbrace (1,0,0),(0,2,0),(0,0,3) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^3$ dan $B'_2 = \lbrace (2,0),(0,3) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^2$ . Tentukan matriks representasi dari transformasi linear $T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dengan definisi $T(x,y,z) = (x+y,y+z)$ terhadap basis $B'_1$ dan $B'_2$ . Kalo udah, coba hitunglah $T(1,2,3)$ menggunakan definisi $T$ dan menggunakan matriks representasi, harusnya jawabannya sama! kalo gk sama berarti ada yg ngaco! hehe… $:mrgreen:$

Ya udah, daripada gk tahu apa yg mau dikerjakan, mendingan ane kerjakan aja, hehe… Diketahui $B'_2 = \lbrace (2,0),(0,3) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^2$ . Untuk $(p,q) \in \mathbb{R}^2$ , diperoleh bahwa

$(p,q) = \beta_1(2,0)+\beta_2(0,3)$ dengan $\beta_1 = \frac{p}{2}$ dan $\beta_2 = \frac{q}{3}$ . Diketahui $B'_1 = \lbrace (1,0,0),(0,2,0),(0,0,3) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^3$ , dihitung:

$T(1,0,0) = (1+0,0+0) = (1,0) = \frac{1}{2}(2,0) + 0(0,3)$
$T(0,2,0) = (0+2,2+0) = (2,2) = 1(2,0) + \frac{2}{3}(0,3)$
$T(0,0,3) = (0+0,0+3) = (0,3) = 0(2,0) + 1(0,3)$

Dari sini diperoleh matriks representasi dari $T$ yaitu $A = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right]$ .

Selanjutnya, menggunakan definisi $T$ dapat dihitung $T(1,2,3) = (1+2,2+3) = (3,5)$ . Apabila dihitung menggunakan matriks $A$ , perhatikan langkah-langkah berikut. Diketahui $B'_1 = \lbrace (1,0,0),(0,2,0),(0,0,3) \rbrace$ merupakan basis untuk $\mathbb{R}^3$ , maka $(1,2,3) = 1(1,0,0) + 1(0,2,0) + 1(0,0,3)$ , diperoleh $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 1$ . Menggunakan matriks $A$ diperoleh:

$\left[ \begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ \frac{5}{3} \end{array} \right]$

Dari sini diperoleh $\beta_1 = \frac{3}{2}$ dan $\beta_2 = \frac{5}{3}$ . Nah, akibatnya diperoleh bahwa $T(1,2,3) = \beta_1(2,0) + \beta_2(0,3) = \frac{3}{2}(2,0) + \frac{5}{3}(0,3) = (3,5)$ . Yupzz!! ternyata diperoleh hasil yg sama! $:)$

Nah, setelah ane kasih contoh soal dan penyelesainnya, sekarang giliran ane yg ngasih soal, sebenarnya masih gampang koq.

SOAL: Diberikan $\mathbb{R}^3$ dan $\mathbb{R}^2$ keduanya ruang vektor atas $\mathbb{R}$ terhadap operasi perkalian skalar biasa. Misalkan $B_1 = \lbrace (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^3$ dan $B_2 = \lbrace (1,2),(0,3) \rbrace$ basis untuk $\mathbb{R}^2$ . Tentukan matriks representasi dari transformasi linear $T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dengan definisi $T(x,y,z) = (x+2y-z,x-y+3z)$ terhadap basis $B_1$ dan $B_2$ . Kalo udah, coba hitunglah $T(1,2,3)$ menggunakan definisi $T$ dan menggunakan matriks representasi yang diperoleh.

Selamat belajar, jangan lupa makan dulu biar kagak laper, hehe… $:)$
(Ditulis di gedung unit D lt.4, Kampus III UAD Yogyakarta, 7 Desember 2011, pukul 17.54)

Informasi Tentang